Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），直线l与x轴正半轴夹角为

30°，点B为直线l上的一个动点，延长AB至点C，使得AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点F，过点A作AE∥l交直线CD于点E．

（1）若点B的横坐标为6，则点C的坐标为(______，_____)，DE的长为        ；

（2）若点B的横坐标大于3，则线段CF的长度是否发生改变？若不变，请求出线段CF的长度；若改变，请说明理由；

（3）连结BE，在点B的运动过程中，以OB为直径的⊙P与△ABE某一边所在的直线相切，请求出所

有满足条件的DE的长．

Answer 1

（1点C的坐标为(______，_____)，DE的长为        ；

   （1）C(9，) ,   DE=;      …………4分

（2）如图（1），过点A作AM⊥x轴于M ，

  ∴∠OAM=90°,  ∠BOA=30°,

      ∴AM=OAtan∠BOA=．…………2分

  ∵B为AC的中点，

 ∴AB=BC  

又∵AM∥CF,

  ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

     ∴⊿ABM≌⊿CBF      

  ∴CF=AM=．

   ∴线段CF的长度保持不变．   …………2分

（3）如图1，过点B作BG⊥x轴于点G．

   易证， OB=2BG ,CD=2BG,

         ∴OB=CD．

(I)当点D在点A的右侧时，⊙P只能与BE相切，如图2．

  设DE=, 则OB=CD=．

     ∵⊙P与BE相切于点B，

     ∴OB⊥BE．    

     易得BF=EF=．

     ∴OF=OB+BF=．

    ∴OF=2DF,

    ∴=．

     解得．

        ∴ DE=．     …………2分

（II）当点D在线段OA上时，

    ①若⊙P与直线AE相切，如图3，

     易得，直线l与AE的距离是．

      ∴ OB=3．

      ∴ CD=3．

       ∴DE=2CF-CD=．    …………2分

②当⊙P与AB相切，如图4．

         ∴∠OBA=90°．

       ∴OB=OAtan∠OBA=.

       ∴CD=.

       ∴ DE=2CF-CD==．    …………1分

   (III)当点D在点O的左侧时，⊙P只能与直线AE相切，如图5

       ∵ 直线l与AE的距离是，

         ∴ OB=3．

        ∴ CD=3．

     ∴ DE=2CF+CD=．   

综上所述，DE的长为或或 ．  …………1分