Question

【题目】问题解决：如图1，△ABC中，AF为BC边上的中线，则S△ABF＝　 　S△ABC．

问题探究：

（1）如图2，CD，BE分别是△ABC的中线，S△BOC与S四边形ADOE相等吗？

解：△ABC中，由问题解决的结论可得，S△BCD＝S△ABC，S△ABE＝S△ABC．

∴S△BCD＝S△ABE

∴S△BCD﹣S△BOD＝S△ABE﹣S△BOD

即S△BOC＝S四边形ADOE．

（2）图2中，仿照（1）的方法，试说明S△BOD＝S△COE．

（3）如图3，CD，BE，AF分别是△ABC的中线，则S△BOC＝　 　S△ABC，S△AOE＝　 　S△ABC，S△BOD＝　 　S△ABF．

问题拓展：

（4）①如图4，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴影＝　 　S四边形ABCD．

②如图5，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴影＝　 　S四边形ABCD．

Answer 1

【答案】问题解决：；问题探究：（2）证明见解析；（3），，；问题拓展：（4）①；②.

【解析】

问题解决：根据中线的性质即可得出结论；

问题探究：（2）根据问题解决的结论可得，S△BCD＝S△ABC，S△BCE＝S△ABC，然后根据等式的基本性质即可得出S△BOD＝S△COE；

（3）根据中线的性质和探究结论（1）（2）可推出S△AOE＝S△AOD＝S△BOF＝S△COF＝S△BOD＝S△COE＝S△ABC，从而得出结论；

问题拓展：（4）①连接BD，根据中线的性质可得S△ABE＝S△BDE和S△BDF＝S△DFC，从而得出结论；②连接BD，设BE交DG于M，BH交DF于N，根据问题探究：（3）的结论，可得S△BDM＝S△ABD，S△BDN＝S△BDC，，从而得出结论．

解：问题解决：∵AF是BC边上的中线，

∴S△ABF＝S△AFC，

∴S△ABF＝S△ABC，

故答案为．

问题探究：（2）△ABC中，由问题解决的结论可得，S△BCD＝S△ABC，S△BCE＝S△ABC．

∴S△BCD＝S△BCE

∴S△BCD﹣S△BOC＝S△BCE﹣S△BOC

∴S△BOD＝S△COE．

（3）∵CD，BE，AF分别是△ABC的中线，

∴S△BOF＝S△COF， S△BAF＝S△CAF，S△BOD＝S△AOD，

利用探究结论（1）（2）易证：S△BOC＝S四边形ADOE， S△BOD＝S△COE

∴S△AOD＝S△BAF－S△BOD－S△BOF＝S△CAF－S△COE－S△COF＝S△AOE

∴S△BOC＝2S△BOF，S四边形ADOE＝2S△AOD

∴S△BOF＝S△AOD

∴S△AOE＝S△AOD＝S△BOF＝S△COF＝S△BOD＝S△COE＝S△ABC，

S△BOC＝2S△BOF＝S△ABC，S△AOE＝S△ABC，S△BOD＝S△ABF．

故答案为，，．

问题拓展：（4）①如图4中，连接BD．

∵BE是△ABD的中线，

∴S△ABE＝S△BDE，

∵DF是△BCD的中线，

∴S△BDF＝S△DFC，

∴S阴＝S四边形ABCD，

故答案为．

②如图5中，连接BD，设BE交DG于M，BH交DF于N．

用问题探究可知：S△BDM＝S△ABD，S△BDN＝S△BDC，

∴S阴＝（S△ABD+S△BDC）＝S四边形ABCD，

故答案为．