Question

如图，⊙O的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，2）、B（2

3

-4，0），若抛物线y=-

1

2

x2+bx+c经过A、B两点，抛物线的顶点为P．
（1）求出抛物线的关系式；
（2）抛物线的顶点P是否在圆上？
（3）若⊙O与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积为多少？

Answer 1

分析：（1）知A，B两点代入二次函数式求其解析式；
（2）知道二次函数式求其顶点坐标，在Rt△AMO中，由勾股定理求得OA=OB，即圆点O坐标，从而确定．
（3）连接OD，又点O在抛物线的对称轴上，得OP∥y轴，又得S_△OAD=S_△PAD，由线段PA、线段PD及弧ABD形成的面积，在Rt△AMO中，利用三角函数求得角AOM为60°，从而求得．

解答：解：（1）∵抛物线经过点A、B，
有

3 =c 0=- 3 3 -b+c

，
解得

b= 2 3 3 c= 3

，
∴y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（2）由y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

得y=-

3

3

(x-1)2+

4 3

3

，
顶点P的坐标为（1，

4 3

3

），
在Rt△AMO中，OA²-OM²=AM²，AM=

3

，BM=1，
故有OA²-（OA-1）²=3，
∴OA=2
∴OB=2，OM=1，即点O的坐标为（1，0）．
∴OP=

4 3

3

＞2，
∴顶点P在圆外；

（3）连接OD，∵点O在抛物线的对称轴上，
∴OP∥y轴，
∴S_△OAD=S_△PAD，
∴由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积．
∵在Rt△AMO中，sin∠AOM=

3

2

，
∴∠AOM=60°．
∴封闭图形PABD的面积=

120π

360

•OA2=

4π

3

（平方单位）．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，考查了知道二次函数上的两点求函数式，考查了抛物线的顶点以及将其代入圆中符合即其顶点在圆上，考查了圆与直线所构成图形面积的求值．