Question

如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案．

解答：解：连接OB、OC、OA，
∵圆O切AM于B，切AN于C，
∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC
∴∠BOC=360°-90°-90°-α=（180-α）°，
∵AO平分∠MAN，
∴∠BAO=∠CAO=

1

2

α，
AB=AC=

r

tan 1 2 α

，
∴阴影部分的面积是：S_{四边形BACO}-S_扇形OBC=2×

1

2

×

r

tan 1 2 α

×r-

(180-α)πr2

360

=（

1

tan 1 2 α

-

180π-απ

360

）r²，
∵r＞0，
∴S与r之间是二次函数关系．
故选C．

点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．