题目内容
【题目】如图，已知：抛物线
交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB=2CO.
(1)求二次函数解析式；
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3) 抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y
；（2）
；（3）（1，-3）或（1，
）或（1，1+
）或（1，1-）
【解析】
（1）利用待定系数法求出A、B、C的坐标，然后把B点坐标代入
，求出a 的值，并化简二次函数式即可；
（2）设点M的坐标为（m，
），则点N的坐标为（2-m），可得
， GM=，利用矩形MNHG的周长=2MN+2GM，化简可得
，即当
时，C有最大值，最大值为，
（3）分三种情况讨论：①点P在AB的下方，②点P在AB的上方，③以AB为直径作圆与对称轴交，分别讨论得出结果即可.
（1）对于抛物线y=a（x+1）（x-3），
令y=0，得到a（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或3，
∴C（-1，0），A（3，0），
∴OC=1，
∵OB=2OC=2，
∴B（0，2），
把B（0，2）代入y=a（x+1）（x-3）中得：2=-3a，a=-
∴二次函数解析式为
（2）设点M的坐标为（m，），
则点N的坐标为（2-m，），
， GM=
矩形MNHG的周长 C=2MN+2GM
=2（2m-2）+2（）
=
=
∴当时，C有最大值，最大值为，
（3）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA=3，OB=2，
由对称得：抛物线的对称轴是：x=1，
∴AE=3-1=2，
设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：
①如图1，
当∠BAP=90°时，点P在AB的下方，
∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PAE=∠ABO，
∵∠AOB=∠AEP，
∴△ABO∽△PAE，
∴
，即
，
∴PE=3，
∴P（1，-3）；
②如图2，
当∠PBA=90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，
同理得：△PFB∽△BOA，
∴
，即
，
∴
∴
，
∴P（1，）；
③如图3，
以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B=∠AP2B=90°，
设P1（1，y），
∵AB2=22+32=13，
由勾股定理得：AB2=P1B2+P1A2，
∴
，
解得：
，
∴P（1，1+）或（1，1-）
综上所述，点P的坐标为（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）
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