Question

如图，在直角坐标系中，点C（，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒。

（1）求出点B的坐标。
（2）当为何值时，△POQ与△COD相似？
（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180⁰，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M。由已知，直接写出：
①的取值范围为                ；
②点M移动的平均速度是               。

Answer 1

（1）；（2）（3）y=（＜）；（4）①；②点M移动的平均速度为每秒个单位.

试题分析：（1）由题意得 ，由勾股定理得，证得≌，再结合垂直平分线的性质求解即可；
（2）分①当点P在轴的正半轴上时，②当点P在轴的负半轴上时，根据相似三角形的性质求解；
（3）由，根据三角形的面积公式求解即可；
（4）当与有公共点时，初始位置点P′与点A重合由已知得，，即可求得，根据终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时 ，从而可得t的范围，设的中点为F，当时，，把代入得：，当时，把代入，得：，即可得到的取值范围，则可得初始位置的抛物线为，此时，终止位置的抛物线为，此时，则，再根据移动的时间为秒即可求得结果.
（1）由题意得 ，由勾股定理得：


在与中
   
∴≌
∴BD=DC=2，    
∴BO=1
∴；
（2）①当点P在轴的正半轴上时，
由已知得，CP=，OP=CO－CP=，
由题意得：
即，解得；
②当点P在轴的负半轴上时

由题意得：
即，解得
综上所述：当△POQ与△COD相似；
（3）=（＜）；
（4）当与有公共点时，初始位置点P′与点A重合

由已知得，
，解得
终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时    
∴
设的中点为F，当时，
把代入得：
当时 ，把代入，得：
∴的取值范围为：
∴初始位置的抛物线为，此时
终止位置的抛物线为，此时
∴ 
∵移动的时间为秒，
∴点M移动的平均速度为每秒个单位.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．