Question

如图，抛物线＝－＋5＋经过点C（4，0），与轴交于另一点A，与轴交于点B．

（1）求点A、B的坐标；
（2）P是轴上一点，△PAB是等腰三角形，试求P点坐标；
（3）若·Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，当·Q与轴相切时，求·Q上的点到点B的最短距离．

Answer 1

（1）A（1，0），B（0，－4）；（2）P₁（0，4），P₂（0，－），P₃（0，－4－）；
（3）－1

试题分析：（1）将C代入＝－＋5＋即可求得抛物线的解折式，再把＝0与＝0代入求得的抛物线的解折式即可求得结果；
（2）先根据题意作出图形，再根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可；
（3）由题意当Q的横坐标为1或－1时成立，再代入抛物线解析式即可求得点Q的坐标，连Q₁B（即AB），交⊙Q₁于M. 连Q₂B，交⊙Q₂于N，MB和NB即为所求.
（1）将C代入抛物线的解折式得：0＝－4²＋5×4＋，＝－4，所以＝－²＋5－4
令＝0，则－²＋5－4＝0，解得₁＝4， ₂＝1，所以A（1，0）
令＝0，则＝－0²＋5×0－4＝－4，所以B（0，－4）；
（2）如图，P点有三个.

P₁（0，4）
令∣P₂B∣＝. 则∣0P₂∣＝4－
∣P₂A∣²＝∣0P₂∣²＋∣0A∣²＝（4－）²＋1²＝²，解得＝
P₂（0，－）
∣BP₃∣＝AB＝＋＝
P₃（0，－4－）；
（3）当Q的横坐标为1或－1时成立
＝－1²＋5×1－4＝0.  Q₁（1，0）
＝－（－1）²＋5×（－1）－4＝－10，Q₂（－1，－10）
连Q₁B（即AB），交⊙Q₁于M. 连Q₂B，交⊙Q₂于N，MB和NB即为所求
MB＝Q₁B－Q₁M＝AB－QM＝－1 
NB＝Q₂B－Q₂N＝－1＝－1.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．