Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作如图所示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，求出对应的点P的坐标．

Answer 1

（1）（2）①15 ②

试题分析：解：（1）对于，当y=0，x=2.当x=—8时，y=—.
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为
由抛物线经过A、B两点，得 
解得
（2）①设直线与y轴交于点M  当x=0时，y=. ∴OM=.
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
∴DE：PE：PD=3∶4：5.
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点
∴PD=y_P-y_D=.
∴
②当点G落在y轴上时
由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，
所以
点评：该题主要考查学生对观察图形，判断二次函数解析式开口、最值以及求解析式方法的掌握，同时考查在直角坐标系中对几何图形的应用。