如图所示.在直角坐标系xOy中.点O是坐标原点.点A在x轴正半轴上.OA=12$\sqrt{3}$cm.点B在y轴的正半轴上.OB=12cm.动点P从点O开始沿OA以2$\sqrt{3}$cm/s的速度向点A移动.动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动.动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P.Q.R分别从O.A.B同时移动.移动时间为ts．(1)求∠OAB的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图所示，在直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A在x轴正半轴上，OA=12$\sqrt{3}$cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2$\sqrt{3}$cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动，如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为ts（0＜t＜6）．
（1）求∠OAB的度数；
（2）写出△POR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值．
（3）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，直接写出相应的t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；
（3）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：
①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；
②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；
③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．

解答解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$，
∴∠OAB=30°．

（2）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=$\frac{1}{2}$AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$t．
∴OE=OA-AE=12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t．
∴Q点的坐标为（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=$\frac{1}{2}$×12×12$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$t×（12-2$\sqrt{3}$t）×2t-$\frac{1}{2}$×2t×（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$（t-3）²+18$\sqrt{3}$（0＜t＜6）
当t=3时，S_△PQR最小=18$\sqrt{3}$；

（3）分三种情况：如图
①当AP=AQ₁=4t时，
∵OP+AP=12$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$t+4t=12$\sqrt{3}$．
∴t=12$\sqrt{3}$-18，
②当PQ₂=AQ₂=4t时，
过Q₂点作Q₂E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ₂•cosA=4$\sqrt{3}$t，
即2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$t=12$\sqrt{3}$，
∴t=2；
③当PA=PQ₃时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=12$\sqrt{3}$-18时，△APQ是等腰三角形．

点评此题是三角形的综合题，主要考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（3）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解

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