题目内容

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x．
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P精英家教网，使PM∥AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式．
分析：（1）由已知条件证明△AMN∽△ABC（AA），然后根据相似三角形的对应边成比例求得AN=
3
4
x，然后由三角形的面积公式求得用x的代数式表示的△AMN的面积S；
（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，则AO=OD=
1
2
MN．在直角三角形Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC的值；然后根据相似三角形的性质求得OD；再过M作MQ⊥BC于Q，构建△BMQ∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例解得x的值；
（3）由已知条件证明四边形AMPN是矩形，根据矩形的性质求得PN=AM=x；然后由平行四边形BFNM的性质解得FN=8-x，PF=2x-8；最后利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性质求得S△PEF值；最后利用“割补法”求得题型的面积．
解答：精英家教网解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
∴△AMN∽△ABC，
∴
AM
AB
=
AN
AC
，即
x
8
=
AN
6
，
∴AN=
3
4
x
∵AM⊥AN，
∴S△AMN=
1
2
•AM•AN=
1
2
•x•
3
4
x=
3
8
x2；

（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，则AO=OD=
1
2
MN，
在Rt△ABC中，BC=
AB2+BC2
=10，
又∵△AMN∽△ABC，
∴
AM
AB
=
MN
BC
，即
x
8
=
MN
10
，
∴MN=
5
4
x，
∴OD=
5
8
x；
过M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
5
8
x；
则△BMQ∽△ABC，
∴
BM
BC
=
QM
AC
，
∴BM=
10×
5
8
x
6
=
25
24
x；精英家教网
∵AB=AM+BM=
25
24
x+x=8，
∴x=
192
49
；

（3）∵∠A=90°，PM∥AC，∠MPN=90°，
∴四边形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x；
又∵四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
又Rt△PEF∽Rt△ABC，
∴(
PF
AB
)2=
S△PEF
S△ABC
，
∴S△PEF=(
2x-8
8
)2•
1
2
×8×6=
3
2
(x-4)2，
∵S△AMN=S△PMN
∴S梯形MNFE=S△PMN-S△PEF=
3
8
x2-
3
2
(x-4)2=-
9
8
x2+12x-24（0≤x≤8）．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及切线的性质．解答此题时，还借用了直径所对的圆周角是直角的性质．
练习册系列答案
相关题目
23、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．
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（1）如图1．连接BE、CD，BE与CD交于点O，
①证明：DC=BE；
②∠BOC=
 
°． （直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交AB于点F．DF与EF相等吗？证明你的结论．
18、如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为18cm和12cm，则线段AE的长等于
3
cm．
在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，则tanA的值是（　　）
A、
5
12
B、
12
5
C、
12
13
D、
5
13
在△ABC中，a=
2
，b=
6
，c=2
2
，则最大边上的中线长为（　　）
A、
2
B、
3
C、2
D、以上都不对

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