Question

从长度为1的线段开始，第一次操作将其三等分，并去掉中间的一段；第二次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段．此后每次操作都按这个规则进行，如图是最初几次操作的示意图，当完成第六次操作时，余下的所有线段的长度之和为

 

Answer 1

分析：易得第一次操作后余下的线段为1-

1

3

，进而得到每次操作后有几个1-

1

3

的积，即可得到第六次操作时，余下的所有线段的长度之和．

解答：解：第一次操作后余下的线段之和为1-

1

3

，
第二次操作后余下的线段之和为（1-

1

3

）²，
…
第六次操作后余下的线段之和为（1-

1

3

）⁶=

64

729

，
故答案为

64

729

．

点评：考查图形的变化规律；得到第n次操作后有n个

2

3

是解决本题的关键．