题目内容
【题目】如图，
是等边三角形，点
在边
上（ “点D不与
重合），点
是射线
上的一个动点（点不与点
重合），连接
，以为边作作等边三角形
，连接
.
（1）如图1，当的延长线与
的延长线相交，且
在直线的同侧时，过点作
，
交于点
，求证：
；
（2）如图2，当反向延长线与的反向延长线相交，且在直线的同侧时，求证：
；
（3）如图3， 当反向延长线与线段相交，且在直线的异侧时，猜想
、
、之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）
=
+
，理由见详解.
【解析】
(1)由
是等边三角形，
，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
是等边三角形，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论；
(3)过点D作DG∥AB交BC于点G，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论.
（1）∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC.
∵
是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，
在 GDE和 CDF中，
∵
，
∴ GDE CDF(SAS)，
∴
；
（2）过点D作DG∥AB交BC于点G，如图2，
∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在 GDE和 CDF中，
∵，
∴ GDE CDF(SAS)，
∴
∴
（3）=+，理由如下：
过点D作DG∥AB交BC于点G，如图3，
∵是等边三角形，，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在 GDE和 CDF中，
∵，
∴ GDE CDF(SAS)，
∴=GC+CE=CD+CE.
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