Question

【题目】已知抛物线经过点，与轴交于点，点是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；

（2）当时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果点是轴上一点，点是抛物线上一点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），对称轴为直线； （2）；（3）点的坐标为或或或．

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；

（2）连接，求出C点坐标，根据A、B、C点坐标求出，设，

根据，列出关于x的方程，解方程即可求出D点坐标；

（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF=AE=1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．

（1）∵经过点，

，

，

∴抛物线的解析式为，

对称轴为直线．

（2）连接，

∵抛物线经过点，

，

，

，

又，

，

，

，

设，

∵点在第四象限，

，

=

=，

，

，

，

．

（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，

∵DF∥AE，D（2，-6）

∴F（1，-6），

∴DF=1，

∴AE=1，

∴E（0，0），或E′（-2，0）．

如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，

∵点D与点F到x轴的距离相等，

∴点F的纵坐标为6，

当y=6时，6=x2-3x-4，

解得x=-2或5，

∴F（-2，6）或（5，6），

设E（n，0），则有或，

解得n=1或8，

∴E（1，0）或（8，0），

综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（-2，0）．