Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在直线左下方作菱形，且点在轴负半轴上，点关于直线的对称点为，以，为邻边构造矩形，交轴的正半轴于点．

（1）求证：；

（2）当时，

①求的长，

②在菱形的边上取一点，在矩形的边上取一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标．

（3）连结，记的面积为，的面积为，若，求的值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②点的坐标为或或或；（3）．

【解析】

（1）根据矩形性质和轴对称性质可得，；

（2）①求出OA,OB，由勾股定理求出OG,可得AG;②根据菱形性质，分4种情况当点与点重合时，显然满足条件，此时；当点与点重合时，显然满足条件，此时；当点在上，在上时，直线的解析式为，直线的解析式为，设，由，可得P的坐标；当在上，在上时

由题意得：，求出，结合，求出PM，可得P的坐标;

（3）根据矩形性质和轴对称性质得，故，记为，设，则，由，可得，求出，可得，由勾股定理可得，，，求出OB,得到B的坐标，再代入，可得k.

（1）证明：四边形是矩形

又由对称可得

∴

（2）解：当时，，

，

①设，则

由勾股定理可得，

解得，

②如图，当点与点重合时，显然满足条件，此时

如图，当点与点重合时，显然满足条件，此时

如图，当点在上，在上时

点，，，

直线的解析式为

直线的解析式为

设

则，

解得

点坐标为

如图，当在上，在上时

由题意得：

将代入

得

即

点坐标为

综上所述，点的坐标为或或或

（3）如图，四边形是矩形，点和点关于直线对称

，记为

设，则

由，可得

解得

由勾股定理可得，，

代入得