Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为CD边上的一个动点，连结AE、BE，以AE为直径作圆，交AB于点F，过点F作FH⊥BE于H，直线FH交⊙O于点G．
【小题1】求证：⊙O必经过点D；
【小题2】若点E运动到CD的中点，试证明：此时FH为⊙O的切线；
【小题3】当点E运动到某处时，AE∥FH，求此时GF的长．

Answer 1

【小题1】见解析
【小题2】见解析
【小题3】解析:
（1）证明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O为AE中点，
∴OD=AE，……2’
∴点D在⊙O上．

（2）证明：如图，连结OF、EF．
易证AFED为矩形，
∴AF=DE．
∵E为CD的中点，
∴F为AB的中点．·········· 3’
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF∥EB．············· 4’
∵FH⊥EB，∴OF⊥FH．········ 5’
∴FH为⊙O的切线．

（3）解：作OM⊥FG，连结OF．
∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．
易证△ADE∽△ECB，
由相似得：DE=2或8．
①当DE=2时，
如图，AF=2，FB=8，EB=4，AE=2．       6’
由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．
∴FG=2FM=．       7’
②当DE=8时，
如图，同上解法，可得OG=AE=2．· 8’
OM=EH=．
∴FG=2GM=