Question

6．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PC=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半径及线段PB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，求出r，证△DPB∽△CPA，得出$\frac{CP}{PD}$=$\frac{AP}{BP}$，代入求出即可．

解答 证明：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
则AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
∴5²-r²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴$\frac{CP}{PD}$=$\frac{AP}{BP}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{3+3}$=$\frac{5-3}{BP}$，
解得：PB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．