Question

9．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在线段BC上（不与B，C重合），过点P作PQ⊥AP交CD于点Q，当BP=1时，线段CQ最长．

Answer 1

分析 设BP的长为x，CQ的长为y，由题中条件可得△ABP∽△PCQ，由线段的比例可得出函数之间的关系，由函数的性质即可求出线段CQ的最大值．

解答 解：设BP的长为x，CQ的长为y．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°．
∵PQ⊥AP，
∴∠CPQ+∠APB=90°．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP．
∴△ABP∽△PCQ．
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CQ}$．
∵AB=BC=2，BP=xCQ=y，
∴PC=2-x．
∴$\frac{2}{2-x}=\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x，
=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=1时函数取到最大值，
即BP=1时，线段CQ最长，
故答案为1．

点评 本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法．