Question

4．如图，直线y=x+3$\sqrt{2}$与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于C、D两点，⊙O是以CD长为半径的圆，CE∥x轴，DE∥y轴，求k的值．

Answer 1

分析 作CM⊥x轴于点M，EG⊥x轴于点G．连接OG，则△CFM和△OGE都是等腰直角三角形，证明FC=CD=BD，根据△FCM∽△FBO，求得C的坐标，然后利用待定系数法求得k的值．

解答 解：∵y=x+3$\sqrt{2}$中，令y=0，解得：x=3$\sqrt{2}$，
令x=0，解得：y=3$\sqrt{2}$，
∴OF=OB，即△OBF是等腰直角三角形．
作CM⊥x轴于点M，EG⊥x轴于点G．连接OG．
则△CFM和△OGE都是等腰直角三角形．
又∵CD=OE，
∴CM=OG=EG=CM，
∴CF=CD．
同理，FC=CD=BD．
∵CM∥OB，
∴△FCM∽△FBO，
∴$\frac{FM}{OF}$=$\frac{CM}{OB}$=$\frac{FC}{BF}$=$\frac{1}{3}$．
∴FM=$\frac{1}{3}$OF=$\sqrt{2}$，CM=$\frac{1}{3}$OB=$\sqrt{2}$，
∴OM=2$\sqrt{2}$，
∴C的坐标是（-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
把C代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=-4．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，正确证明FC=CD=BD是解题的关键．