Question

⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，弧AB所对的圆周角为45°，圆心O到BC的距离为1，则AC的长为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：先过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，过点B作BD⊥AC，求出∠AOB=90°，∠CBD=45°，得出AB=2

2

，∠OBA=45°，再求出BF=

3

，∠OBF=30°，BC=2

3

，∠OBD=45°-30°=15°，最后根据∠ABD=30°，得出AD=

2

，BD=

6

，即可求出AC．

解答：解：过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，过点B作BD⊥AC，
∵弧AB所对的圆周角为45°，
∴∠AOB=90°，∠CBD=45°
∴AB=

22+22

=2

2

，∠OBA=45°，
∵OF=1，
∴BF=

22-12

=

3

，∠OBF=30°，
∴BC=2

3

，∠OBD=45°-30°=15°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

×2

2

=

2

，
BD=

(2 2 )2+( 2 )2

=

6

，
∴CD=

6

，
∴AC=

2

+

6

．
故答案为：

2

+

6

．

点评：此题考查了垂经定理和圆周角定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．