Question

如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是AB上任意一点，过P作PE⊥BC于E；过E作EF⊥AC于F；过F作FQ⊥AB于Q．设BP=x，AQ=y，用含x的式子填空，并解答有关问题．
（1）根据题意可得，BE=

1

2

BP，∴BE=

1

2

x，∴EC=4-

1

2

x
又FC=

1

2

EC，∴FC=

 

，∴AF=4-FC=

 

又AQ=

1

2

AF，∴AQ=

 

，
∴y与x之间的函数关系式为

 

（2）当AQ=1.2时，求BP的长度；
（3）当BP的长度等于多少时，点P与点Q重合？

Answer 1

分析：（1）正三角形的每一个角等于60°，再由垂直，得出∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，据此推出答案．
（2）（3）代入数据进行计算即可．

解答：解：（1）∵PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，∴∠BPE=∠CEF=∠AFQ=30°，
∵AB=4，∴FC=

1

2

EC，∴FC=2-

1

4

x，∴AF=4-FC=2+

1

4

x，
又AQ=

1

2

AF，∴AQ=1+

1

8

x，
∴y与x之间的函数关系式为y=1+

1

8

x；

（2）当AQ=1.2时，即y=1.2时，1.2=1+

1

8

x，解得x=1.6，
∴当AQ=1.2时，求BP的长度为1.6；

（3）∵点P与点Q重合，∴x+y=4，∴x+1+

1

8

x=4，解得x=

8

3

，
∴当BP的长度等于

8

3

时，点P与点Q重合．

点评：本题是一个综合题，难度不大，主要考查在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．