Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA，BC的延长线于点E，F，连接BE，DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，，AE＝2，求菱形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设OM=x，BM=2x，根据△AOM∽△OBM，求得AM＝＝x，根据△AEM∽△BFM，求得EM：FM=AM：BM=x：2x=，根据△AEM∽△BFM，求得结论．

（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠AEO＝∠CFO，

在△AEO和△CFO中，，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE＝OF，

又∵OB＝OD，

∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：∵，

∴设OM＝x，BM＝2x，

∵EF⊥AB，

又∵AC⊥BD，

∴∠AOM＝∠OBM，

∴△AOM∽△OBM，

∴＝，

∴AM＝＝x，

∵AD∥BC，

∴△AEM∽△BFM，

∴EM：FM＝AM：BM＝x：2x＝，

∵△AEO≌△CFO，

∴AE＝CF，

∵AE∥BF，

∴△AEM∽△BFM，

∴＝，

∴＝，

∴BF＝8，

∴BC＝6，

∴菱形ABCD的边长为6．