Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动．其中一点停止则另一点也随之停止，设运动时间为t秒．

（Ⅰ）①直接写出t的取值范围：　 　；

②当点P运动到AB中点时，连结PQ，PC，BQ，求证：△CPQ∽△ABQ；

（Ⅱ）当△BPQ是直角三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①0≤t≤7，②见解析；（Ⅱ）t＝或

【解析】

（Ⅰ）①利用勾股定理求出AB的长即可解决问题．

②根据两角对应相等两三角形相似即可证明．

（Ⅱ）分两种情形：①如图2中，当PQ∥AC时，∠PQB＝∠C＝90°．②如图3中，当∠QPB＝90°时，分别求解即可．

（Ⅰ）①解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∵＝10，＝7，7＜10，

∴t的取值范围为：．

故答案为：0≤t≤7．

②证明：如图1中，由题意点P运动到AB的中点时，t＝5，

∴CQ＝5×2﹣8＝2，

∵∠ACB＝90°，PA＝PB，

∴PC＝PA＝PB＝5，

∴∠PCQ＝∠A，

∵，，

∴，

∴△QCP∽△CAB，

（Ⅱ）解：①如图2中，当PQ∥AC时，∠PQB＝∠C＝90°，

∵PQ∥AC，

∴，

∴，

解得：；

②如图3中，当∠QPB＝90°时，

∵∠QPB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，

∴△BPQ∽△BCA，

∴，

∴，

解得：；

综上所述，满足条件的t的值为：或.