Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB．

 

（1）如图l，求证：∠B＝∠E：

（2）如图2，在（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE＝∠EHC＝60°，CF＝2，求线段AH的长.

 

Answer 1

【答案】

（1）过点A作AG//CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC，则有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四边形AGCD是平行四边形，再结合AD=CD可得AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，则可得AP=AQ，再有AB=AE，可证得Rt△APB≌Rt△AQE，从而可以证得结论；（2）

【解析】

试题分析：（1）过点A作AG//CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC，则有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四边形AGCD是平行四边形，再结合AD=CD可得AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，则可得AP=AQ，再有AB=AE，可证得Rt△APB≌Rt△AQE，从而可以证得结论；

（2）在HE上截取HK=CH，连接MK、AC，由∠KHC=60°可得△KHC是等边三角形，∠AHC=120°，即可得到CH=CK，∠HKC=60°，由AB=AE，∠B=∠E，BM=CE可证得△ABM≌△AEC，即得∠BAM=∠EAC，AM=AC，即可得到△AMC是等边三角形，则可得AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°，从而可以证得△MCK≌△ACH，即得MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°，则可得到∠MKF=120°-60°=60°，由MH⊥AH可得∠HMK=30°，设CH=CK=HK=，在Rt△MHK中，则有MK=AH=，再在Rt△MHK中，根据勾股定理可得MH=，利用面积法易求MF=4，即可得到AM=MC=4+2=6，在Rt△AHM中根据勾股定理求解即可.

解：（1）过点A作AG//CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC

则有∠APG=∠AQE=90°

∵AD//BC

∴四边形AGCD是平行四边形

∵AD=CD

∴AGCD是菱形

∴∠ACP=∠ACD  

∴AP=AQ

∵AB=AE

∴Rt△APB≌Rt△AQE

∴∠B=∠E；

（2）在HE上截取HK=CH，连接MK、AC

∵∠KHC=60°

∴△KHC是等边三角形，∠AHC=120°

∴CH=CK，∠HKC=60°

∵AB=AE，∠B=∠E，BM=CE

∴△ABM≌△AEC

∴∠BAM=∠EAC，AM=AC

∵∠BAE=60°

∴∠MAC=60°

∴△AMC是等边三角形

∴AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°

∴∠MCK=∠ACH

∴△MCK≌△ACH

∴MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°

∴∠MKF=120°-60°=60°

∵MH⊥AH

∴∠HMK=30°

∴设CH=CK=HK= 

在Rt△MHK中，则有MK=AH=

在Rt△MHK中，

∴MH=

利用面积法易求：MF=4

∴AM=MC=4+2=6

在Rt△AHM中，

∴

解得：，（舍去）

∴AH=2=.

考点：四边形的综合题

点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.