Question

已知AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，AC交⊙O 于点D，过点D作DE⊥BC于点E，AB=BC=4，∠ABC=120°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若以点C为圆心画一个半径为r的圆，使得这个圆上有且只有两个点到点O的距离为2，求r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）连接OD、BD，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CO交⊙O于点G．在Rt△CBF中，由BF=2，CF=2

3

，根据勾股定理得到OC的长后即可确定r的取值范围．

解答：证明：（1）连接OD，BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
又∵BA=BC，
∴点D为AC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD∥BC，
又∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CO交⊙O于点G，
∵AB=BC=4，∠ABC=120°，
∴∠CBF=60°，
∴∠BCF=30°，
在Rt△CBF中，BF=2，CF=2

3

．
有勾股定理得：OC=

OF2+CF2

=

42+(2 3 )2

=2

10

，
所以当以2

10

-2＜r＜2

10

+2时，以点C为圆心的圆有且只有两个点到点O的距离为2．

点评：本题考查了圆的综合知识，特别是在判定切线时，往往是连接圆心和切点，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线来判定切线．