Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．
（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据切线的性质及切线长定理可证明△PAC为等边三角形，则∠P的大小可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA=PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC的长．

解答：解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA=PC，
∴△PAC为等边三角形，
∴∠P=60°．

（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
∵cos∠BAC=

AC

AB

，
∴AC=AB•cos∠BAC=2cos30°=

3

．
∵△PAC为等边三角形，
∴PA=AC，
∴PA=

3

．

点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．