Question

已知：如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于点M，点E、F分别为AB、CD的中点．
求证：∠OEM=∠OFM．

Answer 1

分析：先证△ABM∽△DCM（AA），根据相似三角形的对应边成比例求得

AB

DC

=

BM

CM

；然后根据垂径定理推知

BE

CF

=

1 2 AB

1 2 DC

=

AB

DC

=

BM

CM

；然后推知△EBM∽△FCM，根据对应角∠MEB=∠MFC；最后根据图示中的角与角间的关系证明∠OEM=∠OFM．

解答：证明：∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，且BE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC
又∵∠ABD=∠DCA，∠BAC=∠CDB，
∴△ABM∽△DCM．
∴

AB

DC

=

BM

CM

．
∴

BE

CF

=

1 2 AB

1 2 DC

=

AB

DC

=

BM

CM

又∵∠EBM=∠FCM，
∴△EBM∽△FCM．
∴∠MEB=∠MFC．
而∠OEB=∠OFC=90°
∴∠OEM=∠MEB-∠OEB=∠MFC-∠OFC=∠OEM，即∠OEM=∠OFM．

点评：本题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．解答该题的关键是根据垂径定理求得BE=

1

2

AB，CF=

1

2

DC．