题目内容

（2013•湖州二模）如图，点P，Q分别是边长为1cm的正方形ABCD的边BC和对角线AC上的两个动点，点P从B出发，朝BC方向运动，速度为1cm/s；点Q从从A出发，朝AC方向运动，速度为
2
cm/s，只要有一点运动到点C，两点就停止动．设运动的时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2）．
（1）求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）在运动过程中，能否使△APQ的面积为正方形ABCD的面积的六分之一？若能，求x值；若不能，请说明理由．
分析：（1）过点P作PE⊥AC于E，根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ACB=45°，然后判断出△PCE是等腰直角三角形，然后表示出PC，并根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到y与x的关系式，根据时间=路程÷速度分别求出点P、点Q到达点C的时间即可得到x的取值范围；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式判定符合条件的点P、Q不存在．
解答：解：（1）如图，过点P作PE⊥AC于E，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∵点P的速度为1cm/s，
∴PC=1-x，
∴PE=
2
2
PC=
2
2
（1-x），
∵点Q的速度为
2
cm/s，
∴AQ=
2
x，
∴△APQ的面积为y=
1
2
AQ•PE=
1
2
•
2
x•
2
2
（1-x），
=-
1
2
x2+
1
2
x，
∵正方形的边长为1，
∴AC=
2
×1=
2
，
∴点P运动是时间为1÷1=1，
点Q运动的时间为
2
÷
2
=1，
∴y=-
1
2
x2+
1
2
x（0≤x≤1）；

（2）根据题意得，-
1
2
x2+
1
2
x=
1
6
×1，
整理得，3x2-3x+1=0，
∵△=（-3）2-4×3×1=-3＜0，
∴方程没有实数根，
∴这样的点不存在．
点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，根的判别式的应用，（1）作辅助线构造出等腰直角三角形并求出AQ边上的高线是解题的关键，也是本题的难点．
练习册系列答案
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k
x
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45
45
°．
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