Question

15．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）²+m²+1有最大值3，则实数m的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$
• C． 2或-$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$或-$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．

解答 解：二次函数y=-（x-m）²+m²+1，
可化为：y=-x²+2mx+1，
故二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值，
此时-（-2-m）²+m²+1=3，
解得m=-$\frac{3}{2}$，与m＜-2矛盾，故m值不存在；
②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m²+1=3，
解得m=-$\sqrt{2}$，m=$\sqrt{2}$（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，-（1-m）²+m²+1=3，
解得m=$\frac{3}{2}$．
综上所述，m的值为$\frac{3}{2}$或-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．