Question

3．如图，在“黄金矩形”ABCD（即$\frac{宽AB}{长BC}$≈0.618）中，依次画正方形①、②、③、④
（1）观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗？
（2）设BC=1（单位长度），通过计算，能否验证你的判断？

Answer 1

分析 （1）猜想矩形⑤是一个黄金矩形；
（2）根据矩形ABCD为黄金矩形得正方形的边长约为0.618，再根据正方形的性质分别计算出正方形②③④的边长，接着计算出矩形⑤的长与宽，然后根据它的宽与长的比值，再根据黄金矩形的定义进行判断．

解答 解：（1）矩形⑤是一个黄金矩形；
（2）BC=1，则AB=0.618BC=0.618，
正方形①的边长约为0.618，正方形②的边长约为1-0.618=0.382，正方形③的边长约为0.618-0.382=0.236，正方形④的边长约为0.382-0.236=0.146，
所以矩形⑤的长约为0.146，宽约为0.236-0.146=0.09，
因为$\frac{0.09}{0.146}$≈0.618，即矩形⑤的长与宽的比约为0.618，
所以矩形⑤是一个黄金矩形．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．