Question

15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．
（1）求证：CP为⊙O的切线；
（2）BP=1，CP=$\sqrt{5}$．
①求⊙O的半径；
②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据已知证得∠POC=∠PCD，由∠POC+∠OCD=90°．证得∠PCD+∠OCD=90°，即∠OCP=90°，即可证得CP为⊙O的切线；
（2）①设⊙O的半径为r．在Rt△OCP中，利用勾股定理即可求得；
②先证得△COP∽△DOC，根据相似三角形对应边成比例求得CD的长，作点O点关于AC的对称点E，连接ED，交AC于M，此时OM+DM=ED的最小，连接AE，EC，证得四边形AOCE是菱形，进而证得EC=2，∠ECD=90°，然后根据勾股定理即可求得ED，即OM+DM的最小值．

解答 （1）证明：连接OC，如图1，
∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，
∴∠POC=∠PCD，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ODC=90°．
∴∠POC+∠OCD=90°．
∴∠PCD+∠OCD=90°．
∴∠OCP=90°．
∴半径OC⊥CP．
∴CP为⊙O的切线．
（2）解：①设⊙O的半径为r．
在Rt△OCP中，OC²+CP²=OP²，
∵BP=1，CP=$\sqrt{5}$．
∴r²+（$\sqrt{5}$）²=（r+1）²，
解得r=2．
∴⊙O的半径为2．   
②∵∠OCP=∠ODC=90°，∠COD=∠POC，
∴△COP∽△DOC，
∴$\frac{CP}{OP}$=$\frac{CD}{OC}$，即$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{CD}{2}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
如图2，作点O点关于AC的对称点E，连接AE，EC，此时OM+DM=ED，
∵AC垂直平分OE，
∴AE=AO，
∴∠OAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∵OA=AE=OC=2，
∴四边形AOCE是菱形，
∴EC=2，∠ECD=90°，
在RT△ECD中，EC=2，CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴ED=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．
∵OM+DM的最小值为$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．
故答案为$\frac{2}{3}$$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了切线的判定定理，轴对称的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．