Question

若方程x²-2x-m+1=0没有实数根，求证：方程x²-（2m-1）x+m²-2=0有两个不相等的实数根．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：由于方程x²-2x-m+1=0没有实数根，根据判别式的意义得到（-2）2-4×1×（-m+1）＜0，解得m＜0，再计算x²-（2m-1）x+m²-2=0的根的判别式得到△=-4m+8，利用m＜0可判断△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论．

解答：证明：∵方程x²-2x-m+1=0没有实数根，
∴（-2）2-4×1×（-m+1）＜0，
解得m＜0，
x²-（2m-1）x+m²-2=0的根的判别式△=（2m-1）²-4（m²-2）
=-4m+8，
∵m＜0，
∴-4m+8＜0，即△＞0，
∴方程x²-（2m-1）x+m²-2=0有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．