Question

如图，已知，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过A（-1，0），C（0，1）两点，直线l与抛物线相交于C，B（

2

3

，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M（m，t）（m＜0，t＞0）在抛物线上，MN∥x轴，且与该抛物线的另一交点N，问：是否存在实数t，使得MN=2AO？若存在，求出t值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B、C三点的解析式，代入抛物线中即可求得二次函数的解析式．
（2）由于MN与x轴平行，因此两点的纵坐标相等，设N点的坐标为（n，t）．将M、N的纵坐标代入抛物线的解析式中，可得出一个关于x的方程，那么m、n就是这个方程的两个实数根（可看做M、N是直线y=t与抛物线的两交点），可用m、n表示出MN的长，然后用一元二次方程根与系数的关系来求出t的值．

解答：解：（1）当抛物线经过正点A，C，B时

a-b+c=0 c=1 4 9 a+ 2 3 b+c=1

解这个方程组得

a=- 3 5 b= 2 5

所求抛物线的方程为y=-

3

5

x2+

2

5

x+1．

（2）若点m（m，t）在抛物线y=-

3

5

x2+

2

5

x+1上，
设N（n，t），则有-

3

5

n2+

2

5

n+1=t，
又因为-

3

5

m2+

2

5

m+1=t，
故m，n是方程-

3

5

x2+

2

5

x+1-t=0的两实数根；
∴m+n=

2

3

，m•n=-

5

3

（1-t）；
∴MN=n-m=

(m+n)2-4mn

=

( 2 3 )2+4× 5 3 (1-t)

=2AO=2；
∴t=

7

15

．

点评：考查一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．