题目内容
如图，△OBC是边长为4的等边三角形，点C在x轴正半轴上，AB⊥y轴于点A，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设动点P和Q运动的时间为t秒．（1）求OH的长；
（2）设△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？
（3）当△OPQ与△OCH相似时，求t的值．
分析：（1）根据，△OBC是边长为4的等边三角形，得出∠OHC=90°，CH=
BC=2，再根据勾股定理即可求出OH的长；
（2）首先表示出线段PO，作PD⊥y轴于点D，利用锐角三角函数表示出线段PD的长，然后利用三角形的面积计算方法得到有关S于t的二次函数关系式，然后求最值即可；
（3）利用相似三角形的对应边的比相等分两种情况讨论即可得到有关t的方程求得t值即可．
| 1 |
| 2 |
（2）首先表示出线段PO，作PD⊥y轴于点D，利用锐角三角函数表示出线段PD的长，然后利用三角形的面积计算方法得到有关S于t的二次函数关系式，然后求最值即可；
（3）利用相似三角形的对应边的比相等分两种情况讨论即可得到有关t的方程求得t值即可．
解答：
解：（1）∵△OBC是等边三角形，OH⊥BC，
∴∠OHC=90°，CH=
BC=2，
在Rt△OHC中，
OH=
=2
；
（2）由题意OQ=PH=t，
OP=OH-PH=2
-t，∠POD=90°-30°=60°，
作PD⊥y轴于点D，
则PD=OP•sin60°=（2
-t）×
=3-
t，
∴S=
OQ•PD=
•t•（3-
t）=-
t2+
t （0≤t≤2
），
S=-
（t-
）2+
，
∴当t=
时，△OPQ的面积最大，最大值是
；
（3）∵∠POQ=∠OCH=60°，
∴当
=
或
=
时，△OPQ与△OCH相似，
得：
=
或
=
，
解得t=
或t=
，
∴t=
或t=
时，△OPQ与△OAB相似．
解：（1）∵△OBC是等边三角形，OH⊥BC，∴∠OHC=90°，CH=
| 1 |
| 2 |
在Rt△OHC中，
OH=
| 42-22 |
| 3 |
（2）由题意OQ=PH=t，
OP=OH-PH=2
| 3 |
作PD⊥y轴于点D，
则PD=OP•sin60°=（2
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
S=-
| ||
| 4 |
| 3 |
3
| ||
| 4 |
∴当t=
| 3 |
3
| ||
| 4 |
（3）∵∠POQ=∠OCH=60°，
∴当
| OQ |
| CH |
| OP |
| OC |
| OQ |
| OC |
| OP |
| CH |
得：
| t |
| 2 |
2
| ||
| 4 |
| t |
| 4 |
2
| ||
| 2 |
解得t=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
∴t=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了相似形的综合，用到的知识点是直角三角形的性质，锐角三角函数值，点的坐标的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时运用直角三角形的性质根据三角函数值求解是关键，灵活运用抛物线的顶点式是难点．
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