Question

如图，将直角三角形余料截出一个矩形PMCN，∠C=90°，AC=40cm，BC=30cm，点P、M、N分别在AB、AC、BC上，设CN=x．
（1）试用含x的代数式表示PN；
（2）设矩形PMCN的面积为y（cm²），当x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：（1）由PN∥AC，可得△BPN∽△BAC，根据相似三角形的性质可得

PN

AC

=

BN

BC

，进而得到用含x的代数式表示PN的式子；
（2）根据矩形PMCN的面积=PN•CN得出y与x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）∵将直角三角形余料截出一个矩形PMCN，∠C=90°，点P、M、N分别在AB、AC、BC上，
∴PN∥AC，
∴△BPN∽△BAC，
∴

PN

AC

=

BN

BC

，即

PN

40

=

30-x

30

，
∴PN=

4(30-x)

3

；

（2）∵矩形PMCN的面积=PN•CN=

4(30-x)

3

•x=-

4

3

x²+40x，
∴y=-

4

3

x²+40x=-

4

3

（x-15）²+300，
∴当x=15cm时，y的值最大，最大值是300cm²．

点评：本题考查了相似三角形的应用，其中涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的面积公式，二次函数的最值的确定．根据相似三角形对应边成比例得到用含x的代数式表示PN的式子是解题的关键．