Question

9．如图，在梯形ABCD中，∠C=∠D=90°．利用面积法证明勾股定理．

Answer 1

分析 先利用“边角边”证明△ADE和△EBC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠CBE，再求出∠AEB=90°，然后根据梯形的面积公式和梯形的面积等于三个直角三角形的面积列出方程整理即可得证．

解答 证明：在△ADE和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EC}\\{∠C=∠D=90°}\\{DE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△EBC（SAS），
∴∠AED=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴梯形的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=2×$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
整理得，a²+b²=c²．

点评 本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，求出∠AEB=90°是解题的关键，难点在于利用梯形的面积列出方程．