Question

已知点A（0，-2）、B（5，-2）、C（1，0），将△ABC绕点A旋转后得到△AB₁C₁，C₁在x轴上．
（1）求过点B₁的反比例函数解析式；
（2）AB₁与x轴交于点P，是否存在一个点Q在反比例函数上，且S_△AOP=S△B1QP？若存在求出点Q，不存在说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先利用两点间的距离公式计算出AB=5，AC=

5

，BC=2

5

，再根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，接着根据旋转的性质得AC₁=AC=

5

，C₁B₁=CB=2

5

，∠AC₁B=∠ACB=90°，则OC=OC₁=1，作B₁D⊥x轴于D，如图，然后证明Rt△B₁C₁D∽Rt△C₁AO，利用相似比计算出B₁D=2，C₁D=4，易得B₁点的坐标为（3，2），再利用待定系数法求出过点B₁的反比例函数解析式为y=

6

x

；
（2）作QE⊥x轴于E，如图，设Q（t，

6

t

），先利用待定系数法求出直线AB₁的解析式为y=

4

3

x-2，则确定P点坐标为（

3

2

，0），则PD=OD-OP=

3

2

，S_△AOP=

3

2

，则S_△PB1Q=

3

2

，接着根据S_{四边形B1QEP}=S_△PB1Q+S_△PEQ=S_△B1DP+S_梯形B1QED得到

6

t

•|t-

3

2

|=（

6

t

+2）•|t-3|，然后分类讨论：

6

t

•（t-

3

2

）=（

6

t

+2）•（t-3）和

6

t

•（t-

3

2

）=-（

6

t

+2）•（t-3），再分别解关于t的方程求出t的值，从而可得到Q点坐标．

解答：解：（1）∵A（0，-2）、B（5，-2）、C（1，0），
∴AB=5，AC=

12+2 2

=

5

，BC=

(5-1)2+(-2)2

=2

5

，
∵（

5

）²+（2

5

）²=5²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
∵△ABC绕点A旋转后得到△AB₁C₁，C₁在x轴上，
∴AC₁=AC=

5

，C₁B₁=CB=2

5

，∠AC₁B=∠ACB=90°，
∵AO⊥CC₁，
∴OC=OC₁=1，
作B₁D⊥x轴于D，如图，
∵∠B₁C₁D+∠AC₁O=90°，∠OAC₁+∠AC₁O=90°，
∴∠B₁C₁D=∠OAC₁，
∴Rt△B₁C₁D∽Rt△C₁AO，
∴

B1D

C1O

=

C1D

OA

=

C1B1

AC1

，即

B1D

1

=

C1D

2

=

2 5

5

，
∴B₁D=2，C₁D=4，
∴OD=C₁D-C₁O=4-1=3，
∴B₁点的坐标为（3，2），
设过点B₁的反比例函数解析式为y=

k

x

；
∴k=2×3=6，
∴过点B₁的反比例函数解析式为y=

6

x

；
（2）存在．
作QE⊥x轴于E，如图，设Q（t，

6

t

），
设直线AB₁的解析式为y=ax+b，
把A（0，-2）、B₁（3，2）代入得

b=-2 3a+b=2

，
解得

k= 4 3 b=-2

，
∴直线AB₁的解析式为y=

4

3

x-2，
当y=0时，

4

3

x-2=0，
解得x=

3

2

，
∴P点坐标为（

3

2

，0），
∴PD=OD-OP=

3

2

，S_△AOP=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴S_△PB1Q=

3

2

，
∵S_{四边形B1QEP}=S_△PB1Q+S_△PEQ=S_△B1DP+S_梯形B1QED，
∴

3

2

+

1

2

•

6

t

•|t-

3

2

|=

1

2

•2•

3

2

+

1

2

•（

6

t

+2）•|t-3|，
即

6

t

•|t-

3

2

|=（

6

t

+2）•|t-3|，
当

6

t

•（t-

3

2

）=（

6

t

+2）•（t-3），解得t=

3 2

2

或t=-

3 2

2

，此时Q点的坐标为（

3 2

2

，2

2

）或（-

3 2

2

，-2

2

）；
当

6

t

•（t-

3

2

）=-（

6

t

+2）•（t-3），解得t=

3 6

2

或t=-

3 6

2

，此时Q点的坐标为（

3 6

2

，

2 6

3

）或（-

3 6

2

，

2 6

3

），
∴满足条件的Q点的坐标为（

3 2

2

，2

2

），（-

3 2

2

，-2

2

），（

3 6

2

，

2 6

3

），（-

3 6

2

，

2 6

3

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和旋转的性质；会运用待定系数法求函数解析式；能运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，运用相似比计算线段的长；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．