Question

x，y都是自然数，求证：x²+y+1和y²+4x+3的值不能同时是完全平方．

Answer 1

分析：先假设x²+y+1和y²+4x+3的值能同时是完全平方，那么就可写成完全平方式，从而可求y=2x，x=

3

2

y，
而xy是自然数，则

3

2

y必是无理数，那么就与已知相矛盾，故可得证．

解答：解：设x²+y+1和y²+4x+3的值能同时是完全平方，
那么有x²+y+1=（x+1）²，y²+4x+3=（y+

3

）²，
∴y=2x，4x=2

3

y，
即y=2x，x=

3

2

y，
又∵x、y是自然数，
∴

3

2

y必是无理数，
∴与已知矛盾，
故x²+y+1和y²+4x+3的值不能同时是完全平方．

点评：本题考查了完全平方式、无理数、自然数的定义．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．