Question

15．如图，已知AB是⊙的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC．∠PCA=∠B
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC=6，PA=4，求直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性质得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出结论；
（2）由切割线定理得出PC²=PA•PB，求出PB，即可得出直径AB的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠1+∠2=90°，
∵OB=OC，
∴∠2=∠B，
又∵∠PCA=∠B，
∴∠PCA=∠2，
∴∠1+∠PCA=90°，
即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵PC是⊙O的切线，
∴PC²=PA•PB，
∴6²=4×PB，
解得：PB=9，
∴AB=PB-PA=9-4=5．

点评 本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切割线定理；熟练掌握切线的判定方法，由切割线定理求出PB是解决问题（2）的关键．