Question

【题目】如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E为BC的中点，连接DE交BA的延长线于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若OA=AF，DF=4,求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OD，BD，由切线的性质可得∠OBC=90°，利用等边对等角可得∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，易证∠ODE=∠OBC=90°，可得结论；

（2）通过证明,可知∠FOD=60°，易知∠F=30°，由此可知OD、OF间的关系，设OD=x,则OF=2x，在Rt△ODF中，根据勾股定理可得OD的长，由可得解.

（1）证明：连接OD，BD，

∵CB是⊙O的切线，

∴BC⊥OB，∴∠OBC=90°.

∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ADB+∠CDB =180°，

∴∠CDB =90°

∵E是BC的中点，

∴ED=EB=BC，∴∠EDB=∠EBD.

∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，

∴∠ODE=∠OBC=90°,

∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知∠ODF=90°，

∵OA=AF，∴,

∵∴

∵OA=OD

∴∴∠FOD=60°，

∵∠FOD+∠F =90°，∴∠F=30°，

设OD=x,则OF=2x，

在Rt△ODF中，由得，

解得x=

∴.

∴阴影部分面积为.