Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为x秒。
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y(cm²)，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形。

Answer 1

解：（1）在Rt△ADC中，∵AC=4，CD=3，                  ∴AD=5， ∵EP∥DC， ∴△AEP∽△ADC　         ；      （2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2                  当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x                  则             即y与x的函数解析式为：            其中自变量的取值范围是：0＜x<1.6 （3）分两种情况讨论：           ①当∠EQD=90°时， ∴EQ=PC=4-x，               ∵EQ∥AC ∴△EDQ∽△ADC                            ②当∠QED=90°时， ∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°             ∴△EDQ∽△CDA             ∴           即             上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。