Question

15．如图所示，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，2OB=3OA，点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，若点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k的值为（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． -$\frac{9}{4}$
• D． -$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，由同角的余角相等可得出∠OBD=∠AOC，结合∠BDO=∠OCA可证出△OBD∽△AOC，根据相似三角形的性质可得出OD=$\frac{3}{2}$AC、BD=$\frac{3}{2}$OC，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出OC•AC=2、OD•BD=-k，代入OD=$\frac{3}{2}$AC、BD=$\frac{3}{2}$OC可求出k值．

解答 解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．
∵∠BOD+∠OBD=90°，∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC．
∵∠BDO=∠OCA，
∴△OBD∽△AOC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BD}{OC}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$AC，BD=$\frac{3}{2}$OC．
∵点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴OC•AC=2，OD•BD=-k，
解得：k=-$\frac{9}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据相似三角形的性质找出OD=$\frac{3}{2}$AC、BD=$\frac{3}{2}$OC是解题的关键．