Question

4．如图，在等腰梯形OABC中BC∥OA，OC=AB，且A（30，0），C（9，14），点P、Q分别是AO边、BC边上的动点，且保持AP=3BQ=2t．
（1）求BC的长度；
（2）四边形OPQC能否为平行四边形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由．
（3）若直线PQ将等腰梯形OABC分成面积比为1：2的两个部分，请求出此时的t值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰梯形的性质解答即可；
（2）设AP=2t，得出OP=30-2t，利用平行四边形的性质得出CQ=OP，列出关于t的方程解答即可；
（3）根据CQ+OP与QB+AP的比值为1：2或2：1两种情况得出方程解答即可．

解答 解：（1）∵等腰梯形OABC中，A（30，0），C（9，14），
∴BC=30-9-9=12；
（2）设AP=2t，3BQ=2t，
∴OP=30-2t，CQ=12-$\frac{2}{3}t$，
∴当OP=CQ时，四边形OPQC为平行四边形，
可得：30-2t=12-$\frac{2}{3}t$，
解得：t=13.5，
答：当t=13.5时，四边形OPQC为平行四边形；
（3）设AP=2t，3BQ=2t，
∴OP=30-2t，CQ=12-$\frac{2}{3}t$，
当CQ+OP与QB+AP的比值为1：2时，直线PQ将等腰梯形OABC分成面积比为1：2的两个部分，
可得：30-2t+12-$\frac{2}{3}$t=2（2t+$\frac{2}{3}t$），
解得：t=$\frac{21}{4}$，
当CQ+OP与QB+AP的比值为2：1时，直线PQ将等腰梯形OABC分成面积比为1：2的两个部分，
可得：2（30-2t+12-$\frac{2}{3}$t）=2t+$\frac{2}{3}t$，
解得：t=12，
答：当t为$\frac{21}{4}$或12时，直线PQ将等腰梯形OABC分成面积比为1：2的两个部分．

点评 此题考查四边形的综合题，关键是根据等腰梯形的性质和平行四边形的判定解答，注意（3）中CQ+OP与QB+AP的比值为1：2或2：1两种情况解答．