Question

【题目】如图，在中，是直径，点是上一点，点是弧的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交，于点．连接，关于下列结论：① ；②；③点是的外心，其中正确结论是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角对等边可得出GP＝GD，可知②正确；先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角对等边可得出AP＝CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；

∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴＝≠，

∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，

∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，

∴∠GPD＝∠GDP；

∴GP＝GD，故②正确；

∵弦CF⊥AB于点E，

∴A为的中点，即，

又∵C为的中点，

∴，

∴，

∴∠CAP＝∠ACP，

∴AP＝CP．

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACQ＝90，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∴PC＝PQ，

∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

故选C．