Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD，已知BD=1，AD=2，则图中两部分阴影面积的和为（　　）

• A、5+π
• B、4+π
• C、6+

  1

  2

  π
• D、8+

  1

  3

  π

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：几何图形问题

分析：连接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根据∠A=90°，推出矩形ADOE，进一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出tanC=

1

2

；
设⊙O与BC交于M、N两点，由四边形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根据tanC=

1

2

，OE=2，求出EC的长度，根据S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：如图，连接OE．设⊙O与BC交于M、N两点．
∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=2，∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

=

1

2

，
∴tanC=

1

2

．
∵在Rt△EOC中，tanC=

OE

CE

=

1

2

．OE=2，
∴CE=4，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S_圆O=

1

4

π×2²=π，
∴S_阴影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

1

2

×1×2+

1

2

×4×2-π=5-π，
故选：A．

点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，锐角三角函数的定义，扇形的面积，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．