题目内容

设一组数据是x₁，x₂，…，x_n，它们的平均数是 $数学公式$ ，方差 $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：方差也可表示为 $数学公式$ ；并且s²≥0，当x₁=x₂=…=x_n= $数学公式$ 时，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求满足方程 $数学公式$ 的一切实数对（x，y）．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ [x₁²+ $\text{[math]}$ -2x₁ $\text{[math]}$ +x₂²+ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ +…+x_n²+ $\text{[math]}$ -2x_n $\text{[math]}$ ]，
= $\text{[math]}$ （x₁²+x₂²+…+x_n²）+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （-2x₁ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ -…-2x_n $\text{[math]}$ ]，
= $\text{[math]}$ （x₁²+x₂²+…+x_n²）+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （-2x₁ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ -…-2x_n $\text{[math]}$ ]，
= $\text{[math]}$ （x₁²+x₂²+…+x_n²）+ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （x₁+x₂+…+x_n]，
= $\text{[math]}$ （x₁²+x₂²+…+x_n²）- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
当x₁=x₂=…=x_n= $\text{[math]}$ 时，
s²= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，
∴此时方差s²取最小值0；

（2）设数据-x，（y-1），x-y的平均数为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ [（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=- $\text{[math]}$ ，
方差s²= $\text{[math]}$ [x²+（y-1）²+（x-y）²]-（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）²，
当且仅当-x=y-1=x-y= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 时，
s²=0，
此时x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据方差的定义的公式展开，进行整理得出命题的正确性；
（2）结合方差s²= $\text{[math]}$ [x²+（y-1）²+（x-y）²]-（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ ）²，当且仅当-x=y-1=x-y= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 时，求出即可．
点评：此题主要考查了方差公式的证明以及综合应用，正确的将公式变形是解决问题的关键．