Question

设一组数据是x₁，x₂，…，x_n，它们的平均数是

.

x

，方差s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]．
（Ⅰ）证明：方差也可表示为s2=

1

n

(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)-

.

x

 2；并且s²≥0，当x₁=x₂=…=x_n=

.

x

时，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求满足方程x2+(y-1)2+(x-y)2=

1

3

的一切实数对（x，y）．

Answer 1

分析：（1）根据方差的定义的公式展开，进行整理得出命题的正确性；
（2）结合方差s²=

1

3

[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（

.

a

）²=

1

9

-（-

1

3

）²，当且仅当-x=y-1=x-y=

.

a

=-

1

3

时，求出即可．

解答：解：（1）∵s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，
=

1

n

[x₁²+(

.

x

) 2-2x₁

.

x

+x₂²+(

.

x

) 2-2x2

.

x

+…+x_n²+(

.

x

) 2-2x_n

.

x

]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）+

1

n

（(

.

x

) 2+(

.

x

) 2+…+(

.

x

) 2）+

1

n

（-2x₁

.

x

-2x2

.

x

-…-2x_n

.

x

]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）+(

.

x

) 2+

1

n

（-2x₁

.

x

-2x2

.

x

-…-2x_n

.

x

]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）+(

.

x

) 2-2

.

x

1

n

（x₁+x₂+…+x_n]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）-(

.

x

) 2，
∴s2=

1

n

(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)-

.

x

 2；
当x₁=x₂=…=x_n=

.

x

时，
s²=(

.

x

) 2-(

.

x

) 2=0，
∴此时方差s²取最小值0；

（2）设数据-x，（y-1），x-y的平均数为：

.

a

=

1

3

[（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=-

1

3

，
方差s²=

1

3

[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（

.

a

）²=

1

9

-（-

1

3

）²，
当且仅当-x=y-1=x-y=

.

a

=-

1

3

时，
s²=0，
此时x=

1

3

，y=

2

3

．

点评：此题主要考查了方差公式的证明以及综合应用，正确的将公式变形是解决问题的关键．