Question

如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²﹣14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q
【小题1】求tan∠BAO的值
【小题2】若S_△PAQ=S_{四边形OQPB}时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
【小题3】当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】由已知可得，
又∵OA²+OB²=AB²，
∴（OA+OB）²﹣2OA•OB=AB²，
即14²﹣8（AB+2）=AB²，
∴AB²+8AB﹣180=0，
∴AB=10或AB=﹣18（不合题意，舍去），
∴AB=10，
∴x²﹣14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，
∴tan∠BAO=． （5分）
【小题2】∵S_△PAQ=S_{四边形OQPB}，
∴S_△PAQ=S_△AOB，
∵PQ∥BO，
∴△PQA∽△BOA，
∴，
∴．∵AB=10，
∴AP=5，
又∵tan∠BAO=，
∴sin∠BAO=，
∴PQ=PA•sin∠BAO=．（5分）
【小题3】存在，
M点的坐标分别为M₁（0，0）、M₂（0，）、M₃（0，）．（2分）解析:
（1）根据勾股定理得出OA²+OB²=AB²，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值继而求出OA，OB的值即可；
（2）已知S_△PAQ=S_{四边形OQPB，证明}△PQA∽△BOA利用线段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．