Question

19．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）若反比例函数y=$\frac{-2}{x}$的图象与一次函数y=ax-1没有交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只需运用待定系数法求出解决问题；
（2）只需运用数形结合的思想就可解决问题；
（3）只需运用割补法把△AOB的面积转化为△AOC的面积和△BOC的面积之和，就可解决问题；
（4）可把两函数图象没有交点转化为-$\frac{2}{x}$=ax-1即ax²-x+2=0没有实数根，然后运用根的判别式就可解决问题．

解答 解：（1）∵点A（-2，1），B（1，n）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=-2×1=-2，m=1×n=n=-2，
∵点A（-2，1），B（1，-2）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$，一次函数的解析式为y=-x-1；

（2）结合图象可得，
当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是x＜-2或0＜x＜1；

（3）当x=0时，y=0-1=-1，
∴C（0，-1），OC=1，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{3}{2}$；

（4）若y=$\frac{-2}{x}$的图象与一次函数y=ax-1没有交点，
则-$\frac{2}{x}$=ax-1即ax²-x+2=0没有实数根，
∴a≠0，且（-1）²-4×a×2=1-8a＜0，
∴a＞$\frac{1}{8}$．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、根的判别式等知识，在解决问题的过程中，用到了数形结合的思想、转化的思想、割补法、待定系数法、判别式法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．