Question

如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连结OD、DB，根据圆周角定理得到∠1=∠ACD=60°，则可判断△ODB为等边三角形，所以∠2=60°，则得到∠ODP=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△ODP中利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD=

3

OD=2

3

，然后利用扇形的面积公式和阴影部分的面积=S_△ODP-S_扇形OBD进行计算即可．

解答：（1）证明：连结OD、DB，如图，
∵∠1=∠ACD=60°，
而OD=OB，
∴△ODB为等边三角形，
∴∠2=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴DP是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODP中，∠P=30°，OD=2，
∴PD=

3

OD=2

3

，
∴阴影部分的面积=S_△ODP-S_扇形OBD
=

1

2

×2×2

3

-

60•π•22

360

=（2

3

-

2

3

π）cm²．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．