Question

8．如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连结DC、BE交于F点．
（1）求证：CD=BE
（2）求证：CD⊥BE．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到∠DAC=∠BAE，从而可证△DAC≌△BAE；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEB，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
在△DAC与△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠BAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）证明：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠AEB，
∵∠AEB+∠ANE=90°，
∠ANE=∠FNC，
∴∠FNC+∠ACD=90°，
∴∠NFC=90°，
∴CD⊥BE．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质；证明三角形全等是解决本题的关键．